定积分

基本概念

定积分的定义

设 f(x)f(x) 定义于 [a,b][a,b] ，若存在数 I∈RI\in R 使得任意分割法 Δ:a=x0<x1<⋯<xn=b\Delta:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b ，任意取点法 pi∈[xi−1,xi]p_i\in [x_{i-1},x_i] ，只要 ∣∣Δ∣∣=λΔ=max⁡{xi}→0||\Delta||=\lambda_{\Delta}=\max\{x_i\}\to 0 ，就有 ∑i=1nf(pi)Δxi→I\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)\Delta x_i\to I ，则称 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] (Riemann) 可积，记为

I=∫abf(x)dxI=\int_a^b f(x)dx

连续函数的可积性

f(x)∈C[a,b]⇒f(x)∈R[a,b]f(x)\in C[a,b]\Rightarrow f(x)\in R[a,b]

Newton-Leibniz

设 f(x)∈R[a,b]f(x)\in R[a,b] 且存在 F(x)F(x) 使 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) ，则 ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

可积性问题

可积的必要条件

f(x)∈R[a,b]⇒∃M>0s.t.∣f(x)∣≤M,x∈[a,b]f(x)\in R[a,b]\Rightarrow \exists M>0\quad\text{s.t.} |f(x)|\le M,x\in [a,b] 即 f(x)f(x) 有界

可积的 Darboux 理论

记 Mi=max⁡x∈Δxif(x),mi=min⁡x∈Δxif(x)M_i=\max\limits_{x\in \Delta x_i}f(x),m_i=\min\limits_{x\in \Delta x_i}f(x)

记 ∑i=1nMiΔxi\sum\limits_{i=1}^n M_i\Delta x_i 为 S‾(Δ)\overline{S}(\Delta) （f(x)f(x) 于 [a,b][a,b] 上相应于分划 Δ\Delta 的 Darboux 上和）

记 ∑i=1nmiΔxi\sum\limits_{i=1}^n m_i\Delta x_i 为 S‾(Δ)\underline{S}(\Delta) （f(x)f(x) 于 [a,b][a,b] 上相应于分划 Δ\Delta 的 Darboux 下和）

S‾(Δ)=sup⁡p∑i=1nf(pi)Δxi\overline{S}(\Delta)=\sup \limits_{p}\sum\limits_{i=1}^nf(p_i)\Delta x_i

$ \underline{S}(\Delta)=\inf \limits_{p}\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)\Delta x_i$

定理：对任意两个划分 Δ′,Δ′′\Delta',\Delta'' ，都有 S‾(Δ′)≤S‾(Δ′′)\underline{S}(\Delta')\le \overline{S}(\Delta'')

∫ab‾f(x)dx=inf⁡ΔS‾(Δ)\overline{\int_a^b}f(x)dx=\inf\limits_{\Delta} \overline{S}(\Delta) 为 f(x)f(x) 于 [a,b][a,b] 的上积分

∫ab‾f(x)dx=sup⁡ΔS‾(Δ)\underline{\int_a^b}f(x)dx=\sup\limits_{\Delta} \underline{S}(\Delta) 为 f(x)f(x) 于 [a,b][a,b] 的下积分

[Darboux 定理] lim⁡∣∣Δ∣∣→0S‾(Δ)=∫ab‾f(x)dx\lim\limits_{||\Delta||\to 0}\overline{S}(\Delta)=\overline{\int_a^b}f(x)dx ；lim⁡∣∣Δ∣∣→0S‾(Δ)=∫ab‾f(x)dx\lim\limits_{||\Delta||\to 0}\underline{S}(\Delta)=\underline{\int_a^b}f(x)dx

我们设 wi=Mi−miw_i=M_i-m_i 。以下条件等价：

  1. f(x)∈R[a,b]f(x)\in R[a,b]

  2. f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 的上、下积分相等。

  3. lim⁡∣∣P∣∣→0∑i=1nwiΔxi=0\lim\limits_{||P||\to 0}\sum\limits_{i=1}^n w_i\Delta x_i=0

  4. 任给 ϵ>0\epsilon>0 ，存在某个划分 PP 使得 S‾(P)−S‾(P)<ϵ\overline{S}(P)-\underline{S}(P)<\epsilon

  5. ∀ϵ>0,∀σ>0,∃Δ\forall \epsilon>0,\forall \sigma>0,\exists \Delta 使得 ∑wi>ϵΔxi<σ\sum\limits_{w_i>\epsilon}\Delta x_i<\sigma

推论： f(x)∈R[a,b]⇒f(x)∈R[c,d]f(x)\in R[a,b]\Rightarrow f(x)\in R[c,d] ，其中 [c,d]⊆[a,b][c,d]\subseteq [a,b]

推论：f(x)∈R[a,b]∧f(x)∈R[b,c]⇒f(x)∈R[a,c]f(x)\in R[a,b]\land f(x)\in R[b,c]\Rightarrow f(x)\in R[a,c]\

推论：若 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 单调，则 f(x)∈R[a,b]f(x)\in R[a,b]

[零测集，Lebesgue 定理]

零测集：设 E⊂RE\subset R 满足 ∀ϵ>0\forall \epsilon>0 ，均存在至多可列个开区间组成的 EE 的开覆盖 {(ai,bi)}\{(a_i,b_i)\} 满足 ∑(bi−ai)<ϵ\sum\limits (b_i-a_i)<\epsilon

Lebesgue 定理： f(x)∈R[a,b]⇔f(x)\in R[a,b]\Leftrightarrow f(x)f(x) 的间断点集为零测集。

[闭区间上的连续函数、单调函数、分段单调函数、间断点个数有限的函数、
间断点集聚点有限的函数、间断点集为零测集的函数，都是可积的]