数学分析 II

定积分

基本概念

定积分的定义

设 $f(x)$ 定义于 $[a,b]$ ，若存在数 $I\in R$ 使得任意分割法 $\Delta:a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$ ，任意取点法 $p_i\in [x_{i-1},x_i]$ ，只要 $||\Delta||=\lambda_{\Delta}=\max\{x_i\}\to 0$ ，就有 $\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)\Delta x_i\to I$ ，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ (Riemann) 可积，记为

$$I=\int_a^b f(x)dx$$

连续函数的可积性

$f(x)\in C[a,b]\Rightarrow f(x)\in R[a,b]$

Newton-Leibniz

设 $f(x)\in R[a,b]$ 且存在 $F(x)$ 使 $F'(x)=f(x)$ ，则 $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

可积性问题

可积的必要条件

$f(x)\in R[a,b]\Rightarrow \exists M>0\quad\text{s.t.} |f(x)|\le M,x\in [a,b]$ 即 $f(x)$ 有界

可积的 Darboux 理论

记 $M_i=\max\limits_{x\in \Delta x_i}f(x),m_i=\min\limits_{x\in \Delta x_i}f(x)$

记 $\sum\limits_{i=1}^n M_i\Delta x_i$ 为 $\overline{S}(\Delta)$ （$f(x)$ 于 $[a,b]$ 上相应于分划 $\Delta$ 的 Darboux 上和）

记 $\sum\limits_{i=1}^n m_i\Delta x_i$ 为 $\underline{S}(\Delta)$ （$f(x)$ 于 $[a,b]$ 上相应于分划 $\Delta$ 的 Darboux 下和）

$\overline{S}(\Delta)=\sup \limits_{p}\sum\limits_{i=1}^nf(p_i)\Delta x_i$

$ \underline{S}(\Delta)=\inf \limits_{p}\sum\limits_{i=1}^n f(p_i)\Delta x_i$

定理：对任意两个划分 $\Delta',\Delta''$ ，都有 $\underline{S}(\Delta')\le \overline{S}(\Delta'')$

$\overline{\int_a^b}f(x)dx=\inf\limits_{\Delta} \overline{S}(\Delta)$ 为 $f(x)$ 于 $[a,b]$ 的上积分

$\underline{\int_a^b}f(x)dx=\sup\limits_{\Delta} \underline{S}(\Delta)$ 为 $f(x)$ 于 $[a,b]$ 的下积分

[Darboux 定理] $\lim\limits_{||\Delta||\to 0}\overline{S}(\Delta)=\overline{\int_a^b}f(x)dx$ ；$\lim\limits_{||\Delta||\to 0}\underline{S}(\Delta)=\underline{\int_a^b}f(x)dx$

我们设 $w_i=M_i-m_i$ 。以下条件等价：

1. $f(x)\in R[a,b]$

2. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的上、下积分相等。

3. $\lim\limits_{||P||\to 0}\sum\limits_{i=1}^n w_i\Delta x_i=0$

4. 任给 $\epsilon>0$ ，存在某个划分 $P$ 使得 $\overline{S}(P)-\underline{S}(P)<\epsilon$

5. $\forall \epsilon>0,\forall \sigma>0,\exists \Delta$ 使得 $\sum\limits_{w_i>\epsilon}\Delta x_i<\sigma$

推论： $f(x)\in R[a,b]\Rightarrow f(x)\in R[c,d]$ ，其中 $[c,d]\subseteq [a,b]$

推论：$f(x)\in R[a,b]\land f(x)\in R[b,c]\Rightarrow f(x)\in R[a,c]$\

推论：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 单调，则 $f(x)\in R[a,b]$

[零测集，Lebesgue 定理]

零测集：设 $E\subset R$ 满足 $\forall \epsilon>0$ ，均存在至多可列个开区间组成的 $E$ 的开覆盖 $\{(a_i,b_i)\}$ 满足 $\sum\limits (b_i-a_i)<\epsilon$

Lebesgue 定理： $f(x)\in R[a,b]\Leftrightarrow$ $f(x)$ 的间断点集为零测集。

[闭区间上的连续函数、单调函数、分段单调函数、间断点个数有限的函数、
间断点集聚点有限的函数、间断点集为零测集的函数，都是可积的]

原函数的存在性与定积分的计算

对 $f\in R[a,b]$ ，定义 $F(x)=\int_a^ xf(t)dt$ 是 $f(x)$ 变上限的积分。

$f\in R[a,b]\to F\in C[a,b]$ ，$F$ 在 $f$ 所有连续点处可导。

$f\in C[a,b]\to F\in D[a,b]$ 且 $F'(x)=f(x),\forall x\in [a,b]$

$\frac{d}{dx}(\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)dt)=f(\varphi(x))\varphi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)$

换元积分：设 $f(x)\in C[a,b],\varphi'(t)\in C[\alpha,\beta],\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b$

则 $\int_a^b f(x)dx=\int_a^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt$ 。

分部积分：设 $u,v\in D[a,b],u',v'\in R[a,b]$ ，则 $\int_a^b u(x)dv(x)=u(x)v(x)|_a^b-\int_a^b v(x)du(x)$

积分中值定理

第一中值定理：

设 $g\in R[a,b]$ 不变号，$f\in R[a,b]$ ，$m,M$ 是 $f(x)$ 下、上界

则 $\int_a^b f(x)g(x)dx=\mu(\int_a^b g(x)dx)$ ，其中 $\mu \in [m,M]$

第二中值定理：

设 $g\in R[a,b],f$ 于 $[a,b]$ 非负递减

则存在 $p\in [a,b]$ 使得 $\int_a^b f(x)g(x)dx=f(a)(\int_a^p g(x)dx)$ 。

广义分部积分：

设 $f,g\in R[a,b]$ ，$F,G$ 是 $f,g$ 的变上限积分

那么 $\int_a^b F(x)g(x)dx=F(x)G(x)|_a^b -\int_a^b G(x)f(x)dx$ 。

泰勒公式的积分余项：

$f(x)=\sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(n)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+R_n(x)$

其中 $R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n dt$ 。

Riemann-Lebesgue引理：

设 $f\in R[a,b]$ ，$g$ 有周期 $T$ 且 $g\in R[0,T]$

则 $\lim\limits_{n\to+\infty}\int_a^b f(x)g(nx)dx=\frac{1}{T}(\int_0^T g(x)dx)(\int_a^bf(x)dx)$ 。