上学期的习题课笔记没有坚持做下来，太难了阿。

但自己也没怎么努力刷教辅，最后考试全炸掉。这学期得认真学数学了。

把所有题记录下来也太繁琐了，感觉就记几个代表性的题有道理一些。

Class 1

这周主要是可积性判定和相关性质

一。$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(1\alpha+3\alpha+\dots+\dots+(2n-1)\alpha){\beta+1}}{(2\beta+4\beta+\dots+(2n)\beta)^{\alpha+1}} $ ，其中 α,β>−1\alpha,\beta>-1

我们尝试往积分那一套上面靠，那就要把 1,2,3,…,2n1,2,3,\dots,2n 除以 nn ，然后再乘以定积分的 2n\frac{2}{n} 。

具体就是 lim⁡n→∞nα(β+1)nβ(α+1)⋅(n/2)β+1(n/2)α+1⋅(2n[(1/n)α+⋯+((2n−1)/n)α])β+1(2n[(2/n)β+⋯+((2n)/n)β])α+1\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^{\alpha(\beta+1)}}{n^{\beta(\alpha+1)}}\cdot\frac{(n/2)^{\beta+1}}{(n/2)^{\alpha+1}}\cdot\frac{(\frac{2}{n}[(1/n)^\alpha+\dots +((2n-1)/n)^\alpha])^{\beta+1}}{(\frac{2}{n}[(2/n)^\beta+\dots +((2n)/n)^\beta])^{\alpha+1}}

可以消成 2α−β(∫02xαdx)β+1(∫02xβdx)α+12^{\alpha-\beta}\frac{(\int_0^2 x^\alpha dx)^{\beta+1}}{(\int_0^2x^\beta dx)^{\alpha+1}} ，这个就很好算了。

二。求 lim⁡n→∞∫0π/2sin⁡nxdx\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx 。

sin⁡nx\sin^n x 的不定积分很难算。考虑放缩， sin⁡x≤x\sin x\le x ，然后其实就做完了。

三。设 f∈D[a,b],f∈R[a,b],An=∑i=1nf(a+i⋅b−an)b−an−∫abf(x)dxf\in D[a,b],f\in R[a,b],A_n=\sum\limits_{i=1}^n f(a+i\cdot \frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}-\int_a^b f(x)dx 。证明 lim⁡n→∞nAn=b−a2(f(b)−f(a))\lim\limits_{n\to\infty}nA_n=\frac{b-a}{2}(f(b)-f(a))

首先设 x0,…,xnx_0,\dots,x_n 满足 xi=a+i⋅b−anx_i=a+i\cdot \frac{b-a}{n}

那么 An=∑i=1n∫xi−1xi(f(xi)−f(x))dxA_n=\sum\limits_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x_i)-f(x))dx

由拉格朗日可知对每个 xx 都有 η∈[x,xi]\eta\in [x,x_i] 满足 f(xi)−f(x)=(xi−x)f(ηi)f(x_i)-f(x)=(x_i-x)f(\eta_i)

于是 An=∑i=1n∫xi−1xif′(η)(xi−x)dxA_n=\sum\limits_{i=1}^n\int_{x_{i-1}}^{x_i}f'(\eta)(x_i-x)dx 。

设 mi,Mim_i,M_i 是每一小段 f′(x)f'(x) 的最小、最大值。

那么 ∑mi⋅(xi−xi−1)22≤An≤∑Mi⋅(xi−xi−1)22\sum m_i\cdot \frac{(x_i-x_{i-1})^2}{2}\le A_n\le \sum M_i\cdot \frac{(x_i-x_{i-1})^2}{2}

也即 (∑mi)(b−a)22n≤An≤(∑Mi)(b−a)22n(\sum m_i)\frac{(b-a)^2}{2n}\le A_n\le (\sum M_i)\frac{(b-a)^2}{2n}

f′f' 有原函数所以一定可积，b−an∑mi\frac{b-a}{n}\sum m_i 和 b−an∑Mi\frac{b-a}{n}\sum M_i 在 n→∞n\to\infty 的时候都是 ∫abf′(x)dx=f(b)−f(a)\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a) 。

所以 An→b−a2(f(b)−f(a))A_n\to \frac{b-a}{2}(f(b)-f(a)) 。