高等代数 II

群环域

基本概念

定义了域、环、群

环的例子：

$M_n(F[x])$ 之元即为 $\lambda-$ 矩阵

$M_n(F[x])$ 中可以定义行列式，子式，伴随矩阵

群的例子：

域 $(F,+,\cdot)$ 等价于 $(F,+)$ 为加法交换群 $(F^*,\cdot)$ 为乘法群

$F$ 域，设 $GL_n(F)=\{A\in M_n(F)|\det(A)\neq 0\}$

则 $GL_n(F)$ 为乘法群。（一般线性矩阵群）

$O_n(\R)=\{A\in M_n(\R)|A^TA=E\}$ 称为正交群

$U_n=\{A\in M_n(\mathbb{C})|A^HA=E\}$ 称为酉群

$R$ 为交换环，$U(R)$ 为 $R$ 中可逆元集，则 $(U(R),\cdot)$ 称为单位群

定义了子群/环/域

设 $R,S$ 为环，称 $f:R\to S$ 为环同态，若 $f$ 保运算，即 $f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)$

同态

若 $f:R\to S$ 为环同态，则 $\text{Im} f=\{f(x)|x\in R\}$ 为 $S$ 子环且 $R\to \text{Im} f$ 为同构

若 $f:R\to S$ 满足 $R\cong \text{Im}f\subset S$ ，则 $S$ 为 $R$ 扩环

定理：设 $F$ 为域，$R$ 为 $F$ （通过 $\tau:F\to R$）扩环，则 $\forall k\in R$ ，$\varphi:F[x]\to R$ 满足 $\varphi(\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i)=\sum\limits_{i=0}^n\tau(a_i)k^i$ 为环同态

比如说，设 $A$ 是幂零矩阵 ($A^k=0$)，研究 $A-E$ 的逆，就可以考虑 $x^k-1=(x-1)(1+x+\dots x^{k-1})$ ，然后构造 $F[x]$ 到 $F[A]$ 的同态即可。

(Hamilton-Cayley Thm) 设 $A\in M_n(F)$ ，设 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ ，则 $f(A)=0$

设 $R_1,R_2,\dots,R_s$ 为环，记 $\oplus_{i=1}^n R_i$ 表示它们的外直和，也就是笛卡尔积

多项式

基本概念

考虑 $F[x]$ ，我们怎么和 $\Z$ 类似的定义整除、互素、素数？

定理：设 $f,g\in F[x]$ ，存在 $q(x),r(x)\in F[x]$

使得 $f=g\cdot q(x)+r(x)$ ，其中 $\deg r<\deg g$ ，且这样的 $q,r$ 唯一

称 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 当且仅当 $\exists g\in F[x]$ 使得 $f=g\cdot q$

称 $g$ 为 $f$ 因子，$f$ 为 $g$ 倍式

称 $f$ 与 $g$ 相伴若 $f|g$ 且 $g|f$ ，记为 $f\sim g$

对 $f\in F[x]$ ，定义 $g_1\sim g_2\Leftrightarrow f|(g_1-g_2)$ ，记 $F[x]/f(x)F[x]$ 是这样定义的等价类构成的集合，同时自然定义加、乘法，这个结构是交换环

若 $d|f,d|g$ 则称 $d$ 为 $f,g$ 公因子，自然定义最大公因子

记 $(f,g)$ 首 $1$ 且为 $f,g$ 的最大公因子的多项式

裴蜀定理 $\forall f,g\in F[x]$ ，设 $d$ 为 $f,g$ 最大公因子，则存在 $u,v\in F[x]$ 使得 $d=uf+vg$

若 $(f,g)=1$ 则 $f|gh\Rightarrow f|h$

若 $f|h,g|h$ 且 $(f,g)=1$ 则 $fg|h$

$p(x)$ 不可约若 $p(x)$ 只有平凡因子（即相伴元和常数）

以下四条等价：

(1) $p$ 不可约 (2) $\forall f\in F[x]$ ，$(f,g)=1$ 或 $p|f$ (3) $p|fg\Rightarrow p|f$ 或 $p|g$ (4) $p$ 不能分解为两个更低次的非常数多项式之积。

重因子判定

先定义形式导数，就是对于 $f(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i,f'(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}x^i$ 。

命题：不可约 $p(x)$ 为 $f(x)$ 的 $k$ 重因子 $\Rightarrow$ $p(x)$ 为 $f'(x)$ 之 $k-1$ 重因子

推论：(1) 不可约 $p(x)$ 为 $f$ 的 $k$ 重因子则 $p$ 为 $f',f'',\dots,f^{(k-1)}$ 之因子，非 $f^k(x)$ 之因子。

(2) $f(x)$ 有重因子 $\Leftrightarrow$ $(f,f')\neq 1$

除了利用导数做判定，还有一种结式判别法

$f,g$ 有 (非平凡) 公因子 $\Leftrightarrow$ 存在 $\varphi,\psi\in F[x]$ 使得 $\deg \varphi<\deg g,\deg \psi<\deg f$ 且 $f\varphi=g\psi$

怎么判断这样的 $\psi,\phi$ 存在呢？考虑设 $\varphi=\sum\limits_{i=0}^{m-1}u_ix^i,\psi=\sum\limits_{i=0}^{m-1}v_ix^i$

比较 $f\varphi=g\psi$ 的两边系数，如果把 $u_i,v_i$ 都看成变量，那其实就构成了 $n+m$ 个变量和 $n+m$ 个线性方程，于是判断有解就可以计算系数矩阵的行列式是否为 $0$ 。我们设这个系数矩阵的行列式是 $R(f,g)$ ，称为 $f,g$ 的 结式 (resultant)

一些帮助计算的命题： $R(f(x),(x-a)g(x))=(-1)^{\deg f}f(a)R(f,g),R(fg,h)=R(f,h)R(g,h)$

多项式的根

中间有一段没听。。。根据书上内容写一下。

余数定理：$f(x)$ 除以 $x-a$ 的余式是 $f(a)$

根：设 $K$ 是域，$R$ 是 $K$ 的扩环且是有单位元的交换环，那么对于 $c\in R,f\in K[x]$ ，$f(c)=0\Leftrightarrow$ $c$ 是 $f$ 的根

定理：$n$ 次多项式有不超过 $n$ 个根。

定理：设 $F$ 含无限个元，$z_1,z_2,\dots,z_{n+1}\in F$ 两两不同，则 $\forall b_1,b_2,b_{n+1}\in F$ ，存在唯一 $n$ 次多项式 $f$ 使得 $f(z_i)=b_i,\forall i=1,2,\dots,n+1$ 。

证明：发现设 $f(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i$ ，那么本质上就是在解一个线性方程组，且系数矩阵是范德蒙德行列式，于是一定有解。构造就是拉格朗日插值公式。

我们来看一个应用。设 $F$ 含无限个元，给定矩阵 $A\in M_n(F),\alpha,\beta\in F^n$ ，证明 $det(A+\alpha^T\beta)=|A|+\beta^TA^{*}\alpha$ 。

如果 $A$ 可逆，自然能用降阶原理证明。

如果 $A$ 不可逆，考察 $\lambda E+A$ ，只有不超过 $n$ 个 $\lambda$ 使得 $\lambda E+A$ 不可逆，其他点都是可逆的，就满足上面的式子。

两个 $n$ 次多项式有无穷个位置满足它们取值相等，那这两个多项式自然相等。

以下讨论限定 $F$ 是数域，也即 $F\subseteq \mathbb{C}$

代数基本定理 复系数非常数多项式都在 $\mathbb{C}$ 中有一个根

推论：复系数多项式在复数域可以唯一分解成若干一次因式的乘积，$\mathbb{C}[x]$ 中不可约多项式只有一次多项式

也就是说 $\forall f\in C[x]$ ，$f$ 能唯一写成 $c\prod\limits_{i=1}^s (x-z_i)^{e_i}$

接下来考察 $\mathbb{R}[x]$ 上的多项式分解，其实就是先考察它在 $\mathbb{C}$ 的根，将互为共轭的根进行配对即可，这也说明 $\R$ 上不可约多项式都不超过二次。