群环域

基本概念

定义了域、环、群

环的例子：

Mn(F[x])M_n(F[x]) 之元即为 λ−\lambda- 矩阵

Mn(F[x])M_n(F[x]) 中可以定义行列式，子式，伴随矩阵

群的例子：

域 (F,+,⋅)(F,+,\cdot) 等价于 (F,+)(F,+) 为加法交换群 (F∗,⋅)(F^*,\cdot) 为乘法群

FF 域，设 GLn(F)={A∈Mn(F)∣det⁡(A)≠0}GL_n(F)=\{A\in M_n(F)|\det(A)\neq 0\}

则 GLn(F)GL_n(F) 为乘法群。（一般线性矩阵群）

On(R)={A∈Mn(R)∣ATA=E}O_n(\R)=\{A\in M_n(\R)|A^TA=E\} 称为正交群

Un={A∈Mn(C)∣AHA=E}U_n=\{A\in M_n(\mathbb{C})|A^HA=E\} 称为酉群

RR 为交换环，U(R)U(R) 为 RR 中可逆元集，则 (U(R),⋅)(U(R),\cdot) 称为单位群

定义了子群/环/域

设 R,SR,S 为环，称 f:R→Sf:R\to S 为环同态，若 ff 保运算，即 f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)

同态

若 f:R→Sf:R\to S 为环同态，则 Imf={f(x)∣x∈R}\text{Im} f=\{f(x)|x\in R\} 为 SS 子环且 R→ImfR\to \text{Im} f 为同构

若 f:R→Sf:R\to S 满足 R≅Imf⊂SR\cong \text{Im}f\subset S ，则 SS 为 RR 扩环

定理：设 FF 为域，RR 为 FF （通过 τ:F→R\tau:F\to R）扩环，则 ∀k∈R\forall k\in R ，φ:F[x]→R\varphi:F[x]\to R 满足 φ(∑i=0naixi)=∑i=0nτ(ai)ki\varphi(\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i)=\sum\limits_{i=0}^n\tau(a_i)k^i 为环同态

比如说，设 AA 是幂零矩阵 (Ak=0A^k=0)，研究 A−EA-E 的逆，就可以考虑 xk−1=(x−1)(1+x+…xk−1)x^k-1=(x-1)(1+x+\dots x^{k-1}) ，然后构造 F[x]F[x] 到 F[A]F[A] 的同态即可。

(Hamilton-Cayley Thm) 设 A∈Mn(F)A\in M_n(F) ，设 f(λ)=∣λE−A∣f(\lambda)=|\lambda E-A| ，则 f(A)=0f(A)=0

设 R1,R2,…,RsR_1,R_2,\dots,R_s 为环，记 ⊕i=1nRi\oplus_{i=1}^n R_i 表示它们的外直和，也就是笛卡尔积

多项式

考虑 F[x]F[x] ，我们怎么和 Z\Z 类似的定义整除、互素、素数？

定理：设 f,g∈F[x]f,g\in F[x] ，存在 q(x),r(x)∈F[x]q(x),r(x)\in F[x]

使得 f=g⋅q(x)+r(x)f=g\cdot q(x)+r(x) ，其中 deg⁡r<deg⁡g\deg r<\deg g ，且这样的 q,rq,r 唯一

称 g(x)g(x) 整除 f(x)f(x) 当且仅当 ∃g∈F[x]\exists g\in F[x] 使得 f=g⋅qf=g\cdot q

称 gg 为 ff 因子，ff 为 gg 倍式

称 ff 与 gg 相伴若 f∣gf|g 且 g∣fg|f ，记为 f∼gf\sim g

对 f∈F[x]f\in F[x] ，定义 g1∼g2⇔f∣(g1−g2)g_1\sim g_2\Leftrightarrow f|(g_1-g_2) ，记 F[x]/f(x)F[x]F[x]/f(x)F[x] 是这样定义的等价类构成的集合，同时自然定义加、乘法，这个结构是交换环

若 d∣f,d∣gd|f,d|g 则称 dd 为 f,gf,g 公因子，自然定义最大公因子

记 (f,g)(f,g) 首 11 且为 f,gf,g 的最大公因子的多项式

裴蜀定理 ∀f,g∈F[x]\forall f,g\in F[x] ，设 dd 为 f,gf,g 最大公因子，则存在 u,v∈F[x]u,v\in F[x] 使得 d=uf+vgd=uf+vg

若 (f,g)=1(f,g)=1 则 f∣gh⇒f∣hf|gh\Rightarrow f|h

若 f∣h,g∣hf|h,g|h 且 (f,g)=1(f,g)=1 则 fg∣hfg|h

p(x)p(x) 不可约若 p(x)p(x) 只有平凡因子（即相伴元和常数）

以下四条等价：

(1) pp 不可约 (2) ∀f∈F[x]\forall f\in F[x] ，(f,g)=1(f,g)=1 或 p∣fp|f (3) p∣fg⇒p∣fp|fg\Rightarrow p|f 或 p∣gp|g (4) pp 不能分解为两个更低次的非常数多项式之积。